七二法则-複利估算(The Rule of 72)



无论在生活中或者进行生涯规划、投资理财时,往往会遇到涉及利率、投资工具的平均酬率或者成长率等相关问题,又或者有关营收成长、经济成长率等公司国家大事,在在离不开数学中的複利问题。也许你会好奇,在固定利率(成长率)之下,若希望本金、营收翻倍,又或者主政者希望GDP (Gross Domestic Product,国内生产毛额)翻倍,那需要多少年的时间呢?从另一个方向考虑,若希望在固定年限内(例如10年)本金能翻倍,那幺需要平均年成长率多少的投资工具或複利效果才能达成此目标呢?

举例来说,现有本金100万,若以8%複利计算,大约多少年会翻倍呢?在学过中学指对数相关数学知识与查对表之后,处理这个问题并不困难,首先我们假设本金为100(万),以8%複利计算,并假设n期后本金翻倍,则可得下式:

\(200=100(1+\frac{8}{100})^n\)

此式即相当于求解指数方程式:

\(2=(1+\frac{8}{100})^n\)

两边取常用对数,并依对数律可得:

\(\log 2=n\log 1.08\)

依相关对数律以及查表可得:

\(0.301 \approx n\log 1.08 \approx n \cdot 0.0334\)

如此可得 \(n \approx \frac{{0.301}}{{0.0334}} \approx 0.901\),亦即约九期后本金会翻倍。

以下再举一例说明,假设某公司今年的年营收为100亿,倘若公司希望在12年后能翻倍(即年营收达200亿),则所需平均年成长率约为多少呢?这里我们已知该公司今年的年营收为100(亿),平均年成长率r %,若12年后营收翻倍,则可得下式:

\(200 = 100{(1 + \frac{r}{{100}})^{12}}\)

此式即相当于下述方程式:

\(2={(1 + \frac{r}{{100}})^{12}}\)

两边取常用对数,并依对数律可得:

\(\log 2 = 12\log (1 + \frac{r}{{100}})\)

\(\log (1 + \frac{r}{{100}}) \approx \frac{{0.301}}{{12}} \approx 0.02508\)

查表可知大约需要6年的时间。

从以上两个例子的结论来看:

\(8\%\) 複利,经 \(9\) 年后翻倍。

\(12\) 年后翻倍,需 \(6\%\) 的长成率。

有没有发现什幺样有趣的关係呢?也许你已从上面的例子观察出:

\(8\cdot 9=72;12\cdot 6=72\)

这里的 \(72\) 是巧合吗?事实上,「\(72\)」正是我们的经济学上用来估算複利效果的一个魔术数字。一般而言,经济学上有一个常用且相当实用的七二法则,可以帮助我们对複利效果作一简单的估算,估算出本金倍增所需的时间或所需之利率。所谓的七二法则如下:

设本金为 \(M\)、若以複利计算,已知利率(成长率)为 \(r\%\),则期数 \(n\)(\(n\) 为自然数)满足 \(n\cdot r=72\) 时,本金约会翻倍,即本利和约成长为 \(2M\)。

举例来说,本金100万元,若以3%複利计算,则约24期后,会变成200万元;若以4%複利计算,则约当18期后,变成200万元。换个角度想,投资时,若希望本金在9年内翻倍,则需要年化报酬率8%的投资工具,以此类推,便可在固定利率(成长率)的条件下,估算出翻倍所需的期数,又或者在固定的期数限制下,估算出翻倍所需的利率(成长率)。

最后,我们试利用相关函数图形来作简单说明。首先设本金为 \(M\)、若以 \(x\%\) 的複利(成长率)计算,设期数为 \(y\)(\(y\) 为自然数)时,本金翻倍,即本利和约为原本的 \(2\) 倍 \(2M\)。可得下式:

\(2M = M{(1 + x)^y}\)

即 \(2=(1+x)^y\),则 \(\log 2=y\log(1+x)\),可得一函数 \(y = \frac{{\log 2}}{{\log (1 + x)}}\),接着作此函数的图形(如图一所示),此函数的图形的横坐标为利率,纵坐标为期数。从图中可以看出当利率18%时,约4期可达成翻倍;当利率9%时,约8期可达成翻倍;当利率8%时,约9期可达成翻倍;当利率6%时,约12期可达成翻倍;希望7期后达成翻倍,则利率约需10%;希望12期达成翻倍,则利率约需6%。

七二法则-複利估算(The Rule of 72)

图一 \(y=\frac{\log 2}{\log(1+x)}\) 之函数图



上一篇: 下一篇:



  • 热门文章
编辑推荐