七二法则的应用与说明 (The application an



七二法则

设本金为 \(M\)、若以複利计算,已知利率(成长率)为 \(r\%\),则期数 \(n\)(\(n\) 为自然数)满足 \(n\cdot r=72\) 时,本金约会翻倍,即本利和约成长为 \(2M\)。

上述七二法则在生活中相当实用,可帮助我们在固定利率(成长率)的条件下,快速地估算出翻倍所需的期数,又或者在固定的期数限制下,估算出翻倍所需的利率(成长率)。以下举若干相关例子说明,最后利用二项式定理概略地说明为何此法则成立。

一般而言,总体经济学中以实质国内生产毛额(GDP)变动率来表示经济成长速度,也就是经济成长率(Economic growth rate)。例如当希望8年内实质国内生产毛额(GDP)接近翻倍,那幺光是平均年成长率5%-6%恐怕是不够的,以七二法则估算,约需要9%的年平均成长率才得以达成,然而这样强劲的成长一般较常见于新兴、开发中国家,然对于接近已开发国家或已开发国家并不易见,更遑论多年下来的「年平均成长率」要达9%。依据国际货币基金(IMF)所作的统计,2013年全球经济成长率为2.9%,而亚洲区域的台湾2.2%、香港3%、韩国2.8%、新加坡3.5%、中国7.6%。即便2012年,亚洲主要国家的经济成长率也仅中国的7.9%以及印尼的6.1%超过6%。

再以生活中常见的投资型商品为例,过去许多场合里,笔者看过保险公司所提供的相关广告或传单,上头声称他们的投资型商品或保单具有4%至6%的年化报酬率(含各类配息商品,甚至曾出现过10%以上的广告),这远比一般银行利息来得优惠,看似相当诱人,一般人可能不疑有他,很容易地相信这类广告。然而此时只需对业务员作一简单的询问:若投资100万,大约何时翻倍呢?即本利和达到200万呢?相信从多数业务员拿出的试算表单中不难发现,若以100万试算,往往本金达200万的时间点,皆是落在30年后,以七二法则估算,年化报酬约当2%,有时更低。此时不难猜测广告中必定存在某些陷阱或盲点。

虽然以此法则估算略有误差,但是,当手边没适当计算工具时,可在心里依此法则作一简单、方便而快速的估算,一切结果很快便了然于胸。另有些商品经过各类配息等方式包装后,乍看之下,年化报酬率颇高,但其实只要以高中数学複利相关知识小心计算,便可发现当中的问题所在,下次有机会时,读者不妨提起笔试试看(或是利用电脑上的Excel软体辅助)!相信你也会成为破解数字迷团的数学侦探。

至于如何推出此「七二法则」的严谨方法,因涉及双变数(包含期数n与利率r)而较複杂,在此,我们仅以二项式定理对此法则作一粗略的估算与说明。

首先设本金为 \(M\)、若以 \(r\%\) 複利(成长率)计算,设期数为 \(n\)(\(n\)为自然数)时,本金翻倍,即约成长为原本的 \(2\) 倍 \(2M\)。可得下式:

\(2M = M{(1 + \frac{r}{{100}})^n}\)

即得

\(2 = {(1 + \frac{r}{{100}})^n}\)

等号右侧依二项式定理展开可得:

\(\displaystyle 2=1+n\frac{r}{100}+\frac{1}{2}n(n-1)(\frac{r}{100})^2+\frac{1}{6}n(n-1)(\frac{r}{100})^3+\cdots+(\frac{r}{100})^n\)

由于一般而言 \(r\) 并不大,例如多数场合 \(1\le r \le 12\),因此,当 \(n\) 够大时,\((\frac{r}{100})^n\) 项可忽略不计。因此,当我们将三次方以上各项略去后,上式可简化为:

\(\displaystyle 2=1+n\frac{r}{100}+\frac{1}{2}n(n-1)(\frac{r}{100})^2\)

令 \(x=\frac{r}{100}\) 代入整理并将上式的 \(n(\frac{r}{100})^2\) 略去后可得:

\(2=2nx+n^2x^2\)

解之可得

\(\displaystyle x=\frac{{ – 2n \pm \sqrt {4{n^2} + 8{n^2}} }}{{2{n^2}}} = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 3 }}{n}\)(其中负不合)

可得 \(nx = \frac{{nr}}{{100}}=-1+\sqrt 3\approx 0.732\),即得 \(nr\approx 73.2\)。

通常我们取一个较容易计算的近似值 \(nr=72\),此关係即为上述七二法则中的结果。

而此「七二」近似值是粗略的估算结果,

若引入微积分与自然对数 \(e\) 将会得到更精确的估算值 \(70\) 或 \(69.3\)。

简单说明如下:

将上式 \(2=(1+0.01r)^n\) 取对数,则可得 \(\ln 2 = n\ln (1 + 0.01r)\),

依泰勒展开式可推得当 \(r\) 很小时,\(\ln(1+0.01r)\) 约等于 \(0.01r\)。

因此,\(0.01nr \approx \ln 2 = 0.693147…\)  即 \(nr\) 约为 \(69.3\)。

然因 \(72\) 的因数较多易于计算,故若取 \(70\) 或 \(69.3\) 所估算结果较为精确,但在实用与计算上皆不如 \(72\) 法则来得方便。表一内容为不同年息翻倍所需实际年期与 \(72\) 法则、\(70\) 法则、\(69.3\) 法则所得之期数估算值,供有兴趣的读者比较与参考。

七二法则的应用与说明 (The application an

表一 不同年息翻倍所需实际年期与估算值



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